Question

3． 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AD=AP=2，AB=2$\sqrt{7}$，E为棱PD的中点．
（Ⅰ）证明：PD⊥平面ABE；
（Ⅱ）求三棱锥C-PBD外接球的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PD⊥平面ABE．
（Ⅱ）三棱锥C-PBD外接球即以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，由此能求出三棱锥C-PBD外接球的体积．

解答 证明：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，2），D（0，2，0），A（0，0，0），B（2$\sqrt{7}$，0，0），E（0，1，1），
$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{AB}$=（2$\sqrt{7}$，0，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，1），
$\overrightarrow{PD}$$•\overrightarrow{AB}$=0，$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{AE}$=0，
∴PD⊥AB，PD⊥AE，
∵AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．
解：（Ⅱ）∵AD，AP，AB两垂直，底面ABCD为矩形，
∴三棱锥C-PBD外接球即以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，
∴三棱锥C-PBD外接球的半径R=$\frac{\sqrt{4+4+28}}{2}$=3，
∴三棱锥C-PBD外接球的体积V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{4}{3}π×27$=36π．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的外接的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．