Question

5．点P在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦点分别为F₁、F₂，直线PF₁与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF₁的垂直平分线恰好过点F₂，则该双曲线的渐近线的斜率为（　　）

• A． ±$\frac{4}{3}$
• B． ±$\frac{3}{4}$
• C． ±$\frac{3}{5}$
• D． ±$\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 运用线段的垂直平分线的性质定理可得|PF₂|=|F₁F₂|=2c，设PF₁的中点为M，由中位线定理可得|MF₂|=2a，再由勾股定理和双曲线的定义可得4b-2c=2a，结合a，b，c的关系，可得a，b的关系，即可得到双曲线的渐近线的斜率．

解答 解：由线段PF₁的垂直平分线恰好过点F₂，
可得|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
由直线PF₁与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，
可得|OA|=a，
设PF₁的中点为M，由中位线定理可得|MF₂|=2a，
在直角三角形PMF₂中，可得|PM|=$\sqrt{4{c}^{2}-4{a}^{2}}$=2b，
即有|PF₁|=4b，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
即4b-2c=2a，即2b=a+c，
即有4b²=（a+c）²，
即4（c²-a²）=（a+c）²，
可得a=$\frac{3}{5}$c，b=$\frac{4}{5}$c，
即有双曲线的渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，
该双曲线的渐近线的斜率为±$\frac{4}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程，考查平面几何中垂直平分线定理和中位线定理的运用，考查运算能力，属于中档题．