Question

16．如图，设长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，Q是AA₁的中点，点P在线段B₁D₁上；
（1）试在线段B₁D₁上确定点P的位置，使得异面直线QB与DP所成角为60^°，并请说明
你的理由；
（2）在满足（1）的条件下，求四棱锥Q-DBB₁P的体积．

Answer 1

分析 （1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD₁所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设D₁P=λD₁B₁，把P的坐标用λ表示，然后分别求出$\overrightarrow{DP}、\overrightarrow{QB}$的坐标，再由|cos＜$\overrightarrow{DP}，\overrightarrow{QB}$＞|=cos60°列式求得λ值得答案；
（2）由图可得四棱锥Q-DBB₁P的高为A₁P，再求出底面直角梯形的面积，代入棱锥体积公式求得四棱锥Q-DBB₁P的体积．

解答 解：（1）P是线段B₁D₁中点．
证明如下：
以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD₁所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），Q（1，0，1），B（1，1，0），D₁（0，0，2），B₁（1，1，2），
设D₁P=λD₁B₁，则$\overrightarrow{{D}_{1}P}=（λ，λ，0）$，∴P（λ，λ，2），
∴$\overrightarrow{DP}$=（λ，λ，2），又$\overrightarrow{QB}$=（0，1，-1），
∴|cos＜$\overrightarrow{DP}，\overrightarrow{QB}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{QB}}{|\overrightarrow{DP}||\overrightarrow{QB}|}$|=cos60$°=\frac{1}{2}$．
∴|$\frac{λ-2}{\sqrt{2{λ}^{2}+4}×\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，解得：$λ=\frac{1}{2}$；
（2）连接A₁P，则A₁P⊥平面DBB₁D₁，
∵A₁Q∥平面DBB₁D₁，∴四棱锥Q-DBB₁P的高为${A}_{1}P=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
${S}_{四边形DB{B}_{1}P}=\frac{1}{2}×（\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}）×2$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴${V}_{Q-DB{B}_{1}P}=\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，考查了棱锥体积的求法，是中档题．