Question

4．对于任意x∈R，函数f（x）表示y₁=4x+1，y₂=x+2，y₃=-2x+4三个函数值的最小值，则f（x）的最大值是$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，判断f（x）的单调性，利用f（x）的单调性得出f（x）的最大值．

解答 解：解不等式$\left\{\begin{array}{l}{4x+1≤x+2}\\{4x+1≤-2x+4}\end{array}\right.$得：x$≤\frac{1}{3}$；
解不等式$\left\{\begin{array}{l}{x+2≤4x+1}\\{x+2≤-2x+4}\end{array}\right.$得：$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{2}{3}$，
解不等式$\left\{\begin{array}{l}{-2x+4≤4x+1}\\{-2x+4≤x+2}\end{array}\right.$得：x$≥\frac{2}{3}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4x+1，x≤\frac{1}{3}}\\{x+2，\frac{1}{3}＜x＜\frac{2}{3}}\\{-2x+4，x≥\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{3}$]上单调递增，在（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）上单调递增，在[$\frac{2}{3}$，+∞）上单调递减，
∴当x=$\frac{2}{3}$时，f（x）取得最大值f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{8}{3}$．
故答案为$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了不等式的解法，函数单调性的判断及最值计算，属于中档题．