Question

7．函数f（x）=ax+$\frac{1}{a}$（1-x），其中a＞0，记f（x）在区间[0，1]上的最大值为g（a），则函数g（a）的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 把函数变形为f（x））=（a-$\frac{1}{a}$）x+$\frac{1}{a}$，分三种情况：a＞1；a=1；0＜a＜1进行讨论，由一次函数单调性即可求得g（a），据g（a）特征可求其最小值．

解答 解：f（x）=ax+$\frac{1}{a}$（1-x）=（a-$\frac{1}{a}$）x+$\frac{1}{a}$，
（1）当a＞1时，a＞$\frac{1}{a}$，f（x）是增函数，
∴f（x）在[0，1]的最大值为f（1）=a，∴g（a）=a；
（2）当a=1时，f（x）=1，∴g（a）=1；
（3）当0＜a＜1时，a-$\frac{1}{a}$＜0，f（x）是减函数，
f（x）在[0，1]上的最大值为f（0）=$\frac{1}{a}$，∴g（a）=$\frac{1}{a}$，
所以g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}，0＜a＜1}\\{1，a=1}\\{a，a＞1}\end{array}\right.$，
因此g（a）最小值为1，
故选C．

点评 本题考查分段函数最值的求法，考查分类讨论思想，属中档题．