Question

8．设定义域为R的函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{{|{x-1}|}}（x≠1）}\\{2（x=1）}\end{array}}\right.$，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有三个不同的实数解x₁，x₂，x₃，则${x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2$=11．

Answer 1

分析 令f（x）=t，借助函数图象判断方程f（x）=t的解的情况，从而得出关于t的方程t²+bt+c=0在（0，+∞）上根的分布情况，进而求出x₁，x₂，x₃．

解答 解：作出y=f（x）的函数图象如图所示：

令f（x）=t，
由图象可知当且仅当t=2时，方程f（x）=t有3解；
当0＜t＜2或t＞2时，方程f（x）=t有两解；
当t≤0时，方程f（x）=t无解．
∵关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有三个不同的实数解，
∴关于t的方程t²+bt+c=0在（0，+∞）上只有一解t=2．
令f（x）=2得x₁=-1，x₂=1，x₃=3．
∴${x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2$=（-1）²+1²+3²=11．
故答案为：11．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．