Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点A（0，3），与双曲线$\frac{{x}^{2}}{14}-\frac{{y}^{2}}{13}$=1有相同的焦点
（1）求椭圆C的方程；
（2）过A点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆C于P，Q两点，则PQ是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得双曲线的焦点坐标，可得椭圆的c，由A点，可得b，求得a，即可得到椭圆方程；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线AP的斜率为k，直线AQ的斜率为-$\frac{1}{k}$，直线AP的方程为y=kx+3，代入椭圆方程，求得P的坐标，k换为-$\frac{1}{k}$，可得Q的坐标，求出直线PQ的斜率，以及方程，整理可得恒过定点．

解答 解：（1）双曲线$\frac{{x}^{2}}{14}-\frac{{y}^{2}}{13}$=1的焦点坐标为（3$\sqrt{3}$，0），（-3$\sqrt{3}$，0），
可得椭圆中的c=3$\sqrt{3}$，由椭圆过点A（0，3），可得b=3，
则a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=6，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线AP的斜率为k，直线AQ的斜率为-$\frac{1}{k}$，
直线AP的方程为y=kx+3，代入椭圆x²+4y²-36=0，
可得（1+4k²）x²+24kx=0，
解得x₁=-$\frac{24k}{1+4{k}^{2}}$，y₁=kx₁+3=$\frac{3-12{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
即有P（-$\frac{24k}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{3-12{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$），
将上式中的k换为-$\frac{1}{k}$，可得Q（$\frac{24k}{4+{k}^{2}}$，$\frac{3{k}^{2}-12}{4+{k}^{2}}$），
则直线PQ的斜率为k_PQ=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{k}^{2}-1}{5k}$，
直线PQ的方程为y-$\frac{3-12{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{{k}^{2}-1}{5k}$（x+$\frac{24k}{1+4{k}^{2}}$），
可化为x（k²-1）-（5y+9）k=0，
可令x=0，5y+9=0，即x=0，y=-$\frac{9}{5}$．
则PQ过定点（0，-$\frac{9}{5}$）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用双曲线的焦点坐标，考查直线恒过定点的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．