Question

2．已知函数$f（x）={log_2}（a{x^2}-3ax+5）$．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥log₂3的解集；
（2）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入函数解析式，再由f（x）≥log₂3结合对数函数的单调性化为一元二次不等式求解；
（2）由题意可得ax²-3ax+5＞0对任意x∈R恒成立，然后对a分类求解得答案．

解答 解：（1）a=1时，
$f（x）=lo{g}_{2}（{x}^{2}-3x+5）$，
则f（x）≥log₂3?$lo{g}_{2}（{x}^{2}-3x+5）≥lo{g}_{2}3$，
即x²-3x+5≥3，解得x≤1或x≥2．
∴不等式f（x）≥log₂3的解集为（-∞，1]∪[2，+∞）；
（2）∵f（x）的定义域为R，
∴ax²-3ax+5＞0对任意x∈R恒成立，
当a＞0时，△=9a²-20a＜0，解得$0＜a＜\frac{20}{9}$．
又a=0成立，
∴a的取值范围是[0，$\frac{20}{9}$）．

点评 本题考查对数不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法与数学转化思想方法，是中档题．