Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值． 

Answer 1

（1）证明：取CE的中点G，连FG、BG．
∵F为CD的中点，∴GF∥DE且 ．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又 ，∴GF=AB．
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．
∵AF平面BCE，BG平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（2）证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．
又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．
∵BG?平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE．
（3）解：在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，连BH．
∵平面BCE⊥平面CDE，
∴FH⊥平面BCE． ∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角．
设AD=DE=2AB=2a，
则 ， ，
Rt△FHB中， ．
∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为 ．