Question

已知点P是圆x²+y²=4上的任意一点，点M、N依次为点P在x轴、y轴上的投影，若

OQ

=

3

2

OM

+

1

2

ON

，点Q的轨迹未曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点P作都有斜率的直线l₁、l₂，使得l₁、l₂与曲线C都只有一个公共点，试判断l₁、l₂是否垂直？并说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设出Q，P的坐标，结合

OQ

=

3

2

OM

+

1

2

ON

把P的坐标用Q的坐标表示，代入圆的方程后整理求得曲线C的方程；
（Ⅱ）由P（x₀，y₀）在圆上可得x02+y02=4，由直线l₁、l₂都有斜率，设经过点P（x₀，y₀）与椭圆只有一个公共点的直线为y=k（x-x₀）+y₀，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由△=0化简整理得：(3-x02)k2+2x0y0k+1-y02=0．把x02+y02=4代入得(3-x02)k2+2x0y0k+(x02-3)=0，则k₁，k₂是关于k的方程(3-x02)k2+2x0y0k+(x02-3)=0的两个实根．由根与系数关系得k₁•k₂=-1，即l₁⊥l₂．

解答： 解：（Ⅰ）设Q（x，y），P（x₀，y₀），则

OM

=(x0，0)，

ON

=(0，y0)，
由

OQ

=

3

2

OM

+

1

2

ON

得，

x= 3 2 x0 y= 1 2 y0

，∴

x0= 2 3 x y0=2y

，
代入x02+y02=4，得(

2

3

x)2+(2y)2=4，
即

x2

3

+y2=1，
∴曲线C的方程为

x2

3

+y2=1；
（Ⅱ）P（x₀，y₀），则x02+y02=4，
已知直线l₁、l₂都有斜率，设经过点P（x₀，y₀）与椭圆只有一个公共点的直线为y=k（x-x₀）+y₀，
由

y=kx+(y0-kx0) x2 3 +y2=1

，消去y得：
(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-3=0．
由△=0化简整理得：(3-x02)k2+2x0y0k+1-y02=0．
把x02+y02=4代入上式得：(3-x02)k2+2x0y0k+(x02-3)=0．
设l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，
已知l₁、l₂与曲线C都只有一个公共点，则k₁，k₂是关于k的方程(3-x02)k2+2x0y0k+(x02-3)=0的两个实根．
∴k₁•k₂=-1，即l₁⊥l₂．

点评：本题考查了直线和圆的方程的应用，考查了平面向量的坐标运算，联立直线和椭圆方程后灵活代入x02+y02=4是解答（Ⅱ）的关键，是压轴题．