Question

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为4且过点（

2

，-2）．
（1）求椭圆C方程；
（2）过椭圆上焦点的直线与椭圆C分别交于点E，F，求

OE

•

OF

的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据焦距求出焦点坐标（0，-2），（0，2），根据椭圆的定义点（

2

，-2）到两焦点距离的和为2a，这样即可求出a，b，从而求出椭圆方程；
（2）当直线不存在斜率时求出E，F坐标，从而求出

OE

•

OF

；当存在斜率时，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），设直线方程为y=kx+2，联立椭圆的方程利用韦达定理可求x₁+x₂，x₁•x₂，从而求得

OE

•

OF

=

20

2+k2

-8，所以-8＜

OE

•

OF

≤2．

解答： 解：（1）椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)焦距是4，所以焦点坐标是（0，-2），（0，2）；
∴2a=

2+0

+

2+(2+2)2

=4

2

，所以a=2

2

，b=2；
即椭圆椭圆C的方程是

x2

4

+

y2

8

=1；
（2）不妨设l过椭圆的上焦点，若直线l垂直x轴，则点E(0，2

2

)，F(0，-2

2

)，

OE

•

OF

=-8；
若直线l不垂直x轴，设l的方程为y=kx+2，设点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）；
将直线l的方程代入椭圆C的方程得到：（2+k²）x²+4kx-4=0；
则x1+x2=

-4k

2+k2

，x1x2=

-4

2+k2

；
所以

OE

•

OF

=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=

-4-4k2

2+k2

+

-8k2

2+k2

+4=

20

2+k2

-8
因为0＜

20

2+k2

≤10，所以-8＜

OE

•

OF

≤2；
所以：

OE

•

OF

的取值范围是[-8，2]．

点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的焦距、焦点的概念，椭圆的定义，直线的点斜式方程，以及韦达定理，向量数量积的坐标运算．