Question

已知函数f（x）=x|x-m|+2x-3．
（1）当m=4时，求函数y=f（x）（x∈R）的单调区间；
（2）当m=4，并且2≤x≤5时，t≤f（x）≤2t+8恒成立，求t的范围
（3）求m的取值范围，使得函数y=f（x）在R上恒为增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先去绝对值得到f（x）=

x2+(2-m)x-3 x≥m -x2+(2+m)x-3 x＜m

，所以将m=4带入f（x）便得到m=4时的函数f（x），根据二次函数图象画法画出f（x）的图象，由图象即可看出f（x）的单调区间；
（2）由（1）画出的图象可求得f（x）在[2，5]上的最大值为12，最小值为5，所以由题设便得到

t≤5 2t+8≥12

，这样解不等式组即得t的取值范围；
（3）由f（x）在R上为增函数知，f（x）在每段上都是增函数，根据二次函数的单调性即可得在每段上限制m的不等式，解不等式并求交集即得m的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=

x2+(2-m)x-3 x≥m -x2+(2+m)x-3 x＜m

；
∴m=4时，f(x)=

x2-2x-3=(x-1)2-4 x≥4 -x2+6x-3=-(x-3)2+6 x＜4

；
画出f（x）的图象如下：
∴由图象可看出，f（x）的递增区间为（-∞，3]，[4，+∞），递减区间为（3，4）；
（2）由图象可以看出x∈[2，5]时，f（x）∈[5，12]；
∴由t≤f（x）≤2t+8在x∈[2，5]上恒成立得，

t≤5 2t+8≥12

，解得2≤t≤5；
∴t的范围为[2，5]；
（3）由题设知，x≥m时，函数x²+（2-m）x-3在[m，+∞）上单调递增；
∴-

2-m

2

≤m，解得m≥-2；
x＜m时，函数-x²+（2+m）x-3在（-∞，m）上单调递增；
∴m≤

2+m

2

，解得m≤2；
∴-2≤m≤2；
∴m的取值范围为[-2，2]．

点评：考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值，二次函数图象的画法，分段函数图象的画法，以及根据图象求函数单调区间的方法，根据图象求函数的最值，以及分段函数的单调性，二次函数的单调性．