Question

16．已知F₁，F₂为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的交点，过F₂作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q，且△F₁PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x．

Answer 1

分析 利用直角三角形中含30°角所对的边的性质及其双曲线的定义、勾股定理即可得到a，b的关系．

解答 解：∵在Rt△F₁F₂P中，∠PF₁F₂=30°，∴|PF₁|=2|PF₂|．
由双曲线定义知|PF₁|-|PF₂|=2a，∴|PF₂|=2a，
由已知易得|F₁F₂|=$\sqrt{3}$|PF₂|，∴2c=2$\sqrt{3}$a，∴c²=3a²=a²+b²，
∴2a²=b²，∵a＞0，b＞0，∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$，故所求双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x．
故答案为y=±$\sqrt{2}$x．

点评 熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、等边三角形的性质等是解题的关键．