Question

已知x₁，x₂是函数f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R，a＞0）的两个零点，函数f（x）的最小值为-a，记P={x|f（x）＜0，x∈R}
（ⅰ）试探求x₁，x₂之间的等量关系（不含a，b）；
（ⅱ）当且仅当a在什么范围内，函数g（x）=f（x）+2x（x∈P）存在最小值？
（ⅲ）若x₁∈（-2，2），试确定b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由二次函数的最小值可得b²-4ac=4a²，由求根公式可得结论；
（2）由二次函数的对称轴结合图象可知在对称轴处取到最小值；（3）由b²=4a+4a²，可得a＞

1

8

，从而得到b的范围．

解答：解：（1）由题意可得

4ac-b2

4a

=-a即b²-4ac=4a²，所以x1，2=

-b± 4a2

2a

=

-b±2a

2a

所以|x₁-x₂|=2…5'
（2）由f（x）＜0得

-b-2a

2a

＜x＜

-b+2a

2a

，g（x）=ax²+（b+2）x+1，对称轴为x°=-

b+2

2a

从而有

-b-2a

2a

＜-

b+2

2a

＜

-b+2a

2a

，故有a＞1…8'
（3）x1，2=

-b±2a

2a

∈（-2，2），从而有-2＜

-b-2a

2a

＜2，-2＜

-b+2a

2a

＜2…10'
所以-1＜

-b

2a

＜3或-3＜

-b

2a

＜1从而有-3＜

-b

2a

＜3，|b|＜6a，b²＜36a²，
因为b²=4a+4a²，所以4a+4a²＜36a²，a＞

1

8

，b²=4a+4a²＞4(

1

8

+

1

64

)=

9

16

所以b的取值范围为(-∞，-

3

4

)∪(

3

4

，+∞)…16'

点评：本题为二次函数问题，数量运用数形结合是解决问题的关键，属中档题．