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下列命题中:
①若函数f(x)的定义域为R,则g(x)=f(x)+f(-x)一定是偶函数;
②若f(x)是定义域为R的奇函数,对于任意的x∈R都有f(x)+f(2+x)=0,则函数f(x)的图象关于直线x=1对称;
③已知x1,x2是函数f(x)定义域内的两个值,且x1<x2,若f(x1)>f(x2),则f(x)是减函数;
④若f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)也为奇函数,则f(x)是以4为周期的周期函数.
其中正确的命题序号是
①④
①④
分析:由偶函数的定义,可判断①的真假;由函数对称性满足的条件,及函数周期性的性质,可以判断②的真假;由减函数的定义,可判断③的真假;由周期函数的定义及性质,可以判断④的真假,进而得到答案.
解答:解:①若函数f(x)的定义域为R,
g(x)=f(x)+f(-x)
∴g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x),
故g(x)=f(x)+f(-x)一定是偶函数一定是偶函数,故①正确;
②∵定义域为R的奇函数f(x),对于任意的x∈R都有f(x)+f(2-x)=0,
则f(x)=f(x-2),它表示函数是一个周期为2的周期函数,其图象不一定是轴对称图形,
故②函数f(x)的图象关于直线x=1对称为假命题;
③若f(x)是减函数,则要求任意x1<x2,均有f(x1)>f(x2),由于③中x1,x2是函数f(x)定义域内的两个值,不具有任意性,故③为假命题;
④若f (x)是定义在R上的奇函数,且f (x+2)也为奇函数,
则f (x)是以4为周期的周期函数,故④为真命题.
故答案为:①④.
点评:本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断,函数图象的对称性,及函数的奇偶性,是函数性质的综合应用,熟练掌握函数性质的判定法则及函数性质的定义是解答本题的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

给出下列命题中
①向量
a
b
满足|
a
|=|
b
|=|
a
-
b
|
,则
a
a
+
b
的夹角为300
a
b
>0,是
a
b
的夹角为锐角的充要条件;
③将函数y=|x-1|的图象按向量
a
=(-1,0)平移,得到的图象对应的函数表达式为y=|x|;
④若(
AB
+
AC
)•(
AB
-
AC
)=0,则△ABC为等腰三角形;
以上命题正确的是
 
(注:把你认为正确的命题的序号都填上)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•长宁区一模)给出下列命题中:
①向量
a
b
满足|
a
|=|
b
|=|
a
-
b
|,则
a
a
+
b
的夹角为30°;
a
b
>0,是
a
b
的夹角为锐角的充要条件;
③将函数y=|x-1|的图象向左平移1个单位,得到的图象对应的函数表达式为y=|x|;
④若(
AB
+
AC
)•(
AB
-
AC
)=0,则△ABC为等腰三角形;
以上命题正确的是
①③④
①③④
.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)

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科目:高中数学 来源: 题型:

下列命题中真命题的是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

下列命题中所有假命题的序号为
②④
②④

①y=sinxcosx的周期为π,最大值为
1
2
;  ②若x是第一象限的角,则y=sinx是增函数;③在△ABC中,若sinA=sinB,则A=B;  ④f(x)=sinx+cosx既不是奇函数,也不是偶函数;  ⑤y=cos(2x+
π
4
)
的一条对称轴为x=-
π
8

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科目:高中数学 来源:2011届四川省攀枝花米易中学高三12月月考数学理卷 题型:填空题

在下列命题中:(1)若实数满足成立;  
(2) 已知椭圆的离心率,则的值为3;
(3)对于函数则函数在内至多有一零点;
(4)函数的图像关于直线对称;
其中正确命题的序号是                  .

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