Question

已知二次函数g（x）对?x∈R都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1且g（1）=-1，设函数f(x)=g(x+

1

2

)+mlnx+

9

8

（m∈R，x＞0）．
（1）求g（x）的表达式；
（2）若?x∈R₊，使f（x）≤0成立，求实数g（x）=-x³+2x²+mx+5的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数g（x）对?x∈R都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，设出g（x），根据等式的性质，可以求出a、c的值；
（2）由（1）求出的函数g（x），代入函数f（x）=g(x+

1

2

)+mlnx+

9

8

，进行化简，再利用导数研究函数的最值，要使f（x）≤0成立，转化为f（x）的最小值小于0即可，从而求出m的范围；

解答：解：（1）设出g（x）=ax²+bx+c，于是
g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=（x-1）²-2，
所以

a= 1 2 c=-1

由g（1）=-1，则b=-

1

2

，
所以g（x）=

1

2

x²-

1

2

x-1，
（2）f（x）=g（x+

1

2

）+mlnx+

9

8

=

1

2

x²+mlnx（m∈R，x＞0），
当m＞0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R，
当m=0时，f（x）=

x2

2

＞0对?x＞0，f（x）＞0恒成立，
当m＜0时，由f′（x）=x+

m

x

=0⇒x=

-m

，
列表：

x	（0， -m ）	-m	（ -m ，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值	递增

这时f（x）_min=f（

-m

）=-

m

2

+mln

-m

，
f（x）_min≤0，?

- m 2 +mln -m ≤0 m＜0

，
可得m≤-e，
综上，?x＞0使f（x）≤0成立，实数m的取值范围（-∞，-e]∪（0，+∞）；

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及函数的转化思想，导数是我们研究函数的单调性，是一道中档题，这类题是高考的热点问题；