Question

已知O是坐标原点，点A（-1，-2），若点M（x，y）平面区域

x+y≥2 x≤1 y≤2

上的一个动点，使

OA

•（

OA

-

MA

）+

1

m

≤0恒成立，则实数m的取值范围为

（-∞，0）∪[

1

3

，+∞）

．

Answer 1

分析：确定不等式组表示的平面区域，化简向量，再将恒成立问题转化为求函数的最值，即可求得结论．

解答：解：不等式组表示的平面区域如图

令z=

OA

•（

OA

-

MA

）=

OA

•

OM

=-x-2y，则目标函数的几何意义是直线y=-

1

2

x-

z

2

纵截距一半的相反数
由

x=1 x+y=2

，可得x=y=1由图象可知，此时z取得最大值-3
∵

OA

•（

OA

-

MA

）+

1

m

≤0恒成立
∴

1

m

≤-

OA

•（

OA

-

MA

）+

1

m

∴

1

m

≤-z
∴

1

m

≤3
∴m＜0或m≥

1

3

故答案为：（-∞，0）∪[

1

3

，+∞）．

点评：本题考查线性规划知识，考查数学结合的数学思想，考查恒成立问题，确定函数的最值是关键．