Question

（2011•杭州一模）已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1（x∈R），g（x）=|f（x）|．
（I）求函数g（x）的单调递减区间；
（II）若A是锐角△ABC的一个内角，且满足f（A）=

2

3

，求sin2A的值．

Answer 1

分析：（I）先利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数解析式化简为y=Asin（ωx+φ）型函数，再利用y=|sinx|的图象性质，将内层函数看作整体解不等式即可得g（x）的单调减区间；
（II）由已知得sin(2A+

π

6

)=

1

3

，可将所求角2A看做角2A+

π

6

与角

π

6

的差，利用两角差的正弦公式展开计算sin2A的值，但角2A+

π

6

的范围的确定是一个难点

解答：解：（Ⅰ） f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)
则g(x)=|2sin(2x+

π

6

)|，∵y=|sinx|的单调递减区间为[kπ+

π

2

，kπ+π]，（k∈Z）．
∴由kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤kπ+π   得：

kπ

2

+

π

6

≤x≤

kπ

2

+

5π

12

，
则g（x）的单调递减区间为[

kπ

2

+

π

6

，

kπ

2

+

5π

12

]（k∈Z）．  
（Ⅱ）∵f（A）=

2

3

，
即：sin(2A+

π

6

)=

1

3

，
∵A∈（0，

π

2

），且sin(2A+

π

6

)＞0，
∴2A+

π

6

∈(0，π)
若2A+

π

6

∈(0，

π

2

)，则sin(2A+

π

6

)=

1

3

＜

1

2

=sin

π

6

，∴2A+

π

6

＜

π

6

，这不可能，
∴2A+

π

6

∈(

π

2

，π)，所以cos(2A+

π

6

)=-

2 2

3

∴sin2A=sin[(2A+

π

6

)-

π

6

]=sin(2A+

π

6

)cos

π

6

-cos(2A+

π

6

)sin

π

6

=

1

3

•

3

2

+

2 2

3

•

1

2

=

3 +2 2

6

即sin2A=

3 +2 2

6

．

点评：本题主要考查了利用三角变换公式化简三角函数式的方法，利用变换角的方法求三角函数值的技巧，y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，注意有三角函数值求角的范围的方法