Question

对任意实数x，y，定义运算x⊕y=ax+by+cxy，其中a，b，c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知1⊕2=3，2⊕3=4，并且有一个非零常数m，使得?x∈R，都有x⊕m=x，则3⊕4的值是（　　）

Answer 1

分析：由1⊕2=3，2⊕3=4，建立关于a、b、c的方程组，解出a=-6c-1，b=2c+2，代入x*m=x并移项整理，得x（-6c-2+cm）+（2c+2）m=0，存在有唯一m使该方程成立，建立关于c、m的关系式，解得c=-1、m=4，从而得到x⊕y的表达式，算出3⊕4的值．

解答：解：∵1⊕2=3，2⊕3=4，
∴a+2b+2c=3，2a+3b+6c=4，可得a=-6c-1，b=2c+2
因此，x⊕y=（-6c-1）x+（2c+2）y+cxy，
∴x*m=（-6c-1）x+（2c+2）m+cmx
若x*m=x，则（-6c-1）x+（2c+2）m+cmx=x
即x（-6c-2+cm）+（2c+2）m=0
∵有一个非零常数m，使得?x∈R，都有x*m=x，
∴（2c+2）m=0且-6c-2+cm≠0，结合m≠0可得c=-1，m=4
所以a=5，b=0，c=-1，x⊕y=5x-xy，
则3⊕4=5×3-3×4=3
故选D

点评：本题给出新定义，求x⊕y的表达式，并算出3⊕4的值．着重考查了函数对应法则和方程组有唯一解等知识，属于基础题．