Question

如果函数f（x）在区间D上有定义，且对任意x₁，x₂∈D，x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，则称函数f（x）在区间D上的“凹函数”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R），判断f（x）是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）对于（I）中的函数f（x）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x₀（a，b）使得

f(b)-f(a)

b-a

=f′（x₀）”成立．利用这个性质证明x₀唯一；
（Ⅲ）设A、B、C是函数f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R）图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．

Answer 1

分析：（I）由凹函数的定义，研究f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

即可；（II）由

f(b)-f(a)

b-a

=f′（x₀）即证明f（x）是[a，b]上的单调增函数；（III）由A、B、C是函数f（x）图象上三个不同的点，联系到点的坐标，要证明△ABC是钝角三角形，可用向量法．

解答：解：（I）函数f（x）是凹函数，证明如下：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f(x1)+f(x2)-2f(

x1+x2

2

)
=ln(1+ex1)+ln(1+ex2)-x1-x2-2[ln(1+e

x1+x2

2

)-

x1+x2

2

]
=ln(1+ex1)(1+ex2)-ln(1+e

x1+x2

2

)2
=ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)-ln(1+2e

x1+x2

2

+ex1+x2)
∵ex1＞0，ex2＞0，且x1≠x2
∴ex1+ex2＞2

ex1ex2

=2e

x1+x2

2

∴1+ex1+ex2+ex1+x2＞1+2e

x1+x2

2

+ex1+x2
∴ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)＞ln(2+2e

x1+x2

2

+ex1+x2)
∴ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)-ln(1+2e

x1+x2

2

+ex1+x2)＞0
∴f(x1)+f(x2)＞2f(

x1+x2

2

)
∴f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

∴f（x）是凹函数（5分）

证明：（II）假设x′₀，x₀∈（a，b），且x′₀≠x₀，
使得f（b）-f（a）=（b-a）f′（x₀），
①f（b）-f（a）=（b-a）f′（x′₀），②
①-②得，（b-a）f′（x₀）=（b-a）f′（x′₀），
∵b＞a，∴b-a≠0∴f′（x₀）=f′（x′₀）
∵f′(x)=

ex

1+ex

-1=

-1

1+ex

，记g(x)=f′(x)=-

1

1+ex

∴g′(x)=

ex

(1+ex)2

＞0∴f′（x）是[a，b]上的单调增函数
∴x₀=x′₀，这与x′₀≠x₀矛盾，即x₀是唯一的．（10分）

证明：（III）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（（x₃，y₃），
且x₁＜x₂＜x₃，∵f′(x)=

-1

1+ex

＜0
∴f（x）是x∈R上的单调减函数∴f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）
∴

BA

•

BC

=(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x2)-f(x2))
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0
∴

BA

•

BC

＜0，∴cosB＜0，∠B为钝角 
故△ABC为钝角三角形．（14分）

点评：本题主要通过新函数来考查不等式的证明，通过导数来考查函数的单调性，通过三角形形状的判断来考查向量的坐标形式．