Question

直线y=kx+

3

与曲线C：y=

1-(x-1)2

有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　）

• A．(0，

  5π

  6

  )
• B．(

  π

  2

  ，

  2π

  3

  ]
• C．(

  π

  2

  ，

  5π

  6

  ]
• D．[

  5π

  6

  ，π]

Answer 1

分析：曲线C表示圆心为（1，0），半径为1的x轴上方的半圆，直线与曲线C有公共点，即直线与半圆有交点，根据题意画出相应的图形，显然y轴于半圆相切，此时的倾斜角为

π

2

，利用点到直线的距离公式，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于k的方程，求出直线与圆相切时斜率的值，进而得到此时倾斜角的值，根据图形可得满足题意的倾斜角的取值范围．

解答：解：根据题意画出图形，如图所示：

若直线与圆相切，直线斜率k不存在时，此时倾斜角α=

π

2

；
当直线斜率存在时，圆心（1，0）到直线y=kx+

3

的距离d=

|k+ 3 |

1+k2

=r=1，
解得：k=-

3

3

，设此时直线的倾斜角为α（

π

2

＜α＜π），
∴tanα=-

3

3

，即α=

5π

6

，
则直线与圆有公共点时，倾斜角的取值范围是（

π

2

，

5π

6

]．
故选C

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：直线斜率与倾斜角的关系，点到直线的距离公式，利用了转化及数形结合的思想，其中根据题意画出相应的图形是解本题的关键．