Question

在直角坐标系xOy中，点P到两点F₁（0，-

3

），F₂（0，

3

）的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线y=kx+1与曲线C交于A、B两点．
（1）求出曲线C的方程；
（2）若k=1，求△AOB的面积；
（3）若

OA

⊥

OB

，求实数k的值．

Answer 1

分析：解：（1）设P（x，y），由题意可知，点P的轨迹是以F₁（0，-

3

），F₂（0，

3

）为焦点的椭圆，由题意可知，c=

3

，a=2，由a²-b²=c²可求b，从而可求椭圆方程
（2）当k=1时，直线方程为y=x+1，联立椭圆与直线方程可求A，B，利用两点间距离公式可求AB，由点到直线的距离公式可求点O到直线L：y=x+1的距离d，代入面积公式S_△AOB=

1

2

×AB×d可求
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程

y=kx+1 x2+ y2 4 =1

，根据方程的根与系数关系可得x1+x2=-

2k

4+k2

，x1x2=-

3

4+k2

，由y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1可求，由题意可知

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0，代入可求k

解答：解：（1）设P（x，y），由题意可知，点P的轨迹是以F₁（0，-

3

），F₂（0，

3

）为焦点的椭圆
由c=

3

，2a=4即a=2
由a²-b²=c²可得，b=1
∴椭圆的方程为x2+

y2

4

=1（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
当k=1时，直线方程为y=x+1
联立

y=x+1 x2+  y2 4 =1

可得5x²+2x-3=0
解方程可得，x=-1或x=

3

5

从而可得A（-1，0），B(

3

5

，

8

5

)（6分）
∵点O到直线L：y=x+1的距离d=

2

2

，AB=

(-1- 3 5 )2+(0- 8 5 )2

=

8 2

5

，
S_△AOB=

1

2

×AB×d=

1

2

×

8 2

5

×

2

2

=

4

5

（8分）
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立方程

y=kx+1 x2+ y2 4 =1

可得，（4+k²）x²+2kx-3=0（10分）
则x1+x2=-

2k

4+k2

，x1x2=-

3

4+k2

，
∵

OA

⊥

OB

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0（12分）
∵A，B在直线y=kx+1上
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=

-3k2

4+k2

-

2k2

4+k2

+1=

4-4k2

4+k2

（14分）
∴-

3

4+k2

+

4-4k2

4+k2

=0
∴4k²-1=0
∴k=±

1

2

（16分）

点评：本题主要考查了利用椭圆的定义求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交关系及方程 的根与系数关系的应用，属于直线与圆锥曲线的综合问题