Question

在经济学中，函数f（x）的边际函数为Mf（x），定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x），某服装公司每天最多生产100件．生产x（x≥1）件的收入函数为R（x）=300x-2x²（单位元），其成本函数为C（x）=50x+300（单位元），利润等于收入与成本之差．
（1）求出利润函数p（x）及其边际利润函数Mp（x）；
（2）分别求利润函数p（x）及其边际利润函数Mp（x）的最大值．

Answer 1

解：（1）利润函数p（x）=R（x）-C（x）=-2x²+250x-300，x∈[1，100]，x∈N；
边际利润函数Mp（x）=p（x+1）-p（x）=[-2（x+1）²+250（x+1）-300]-（-2x²+250x-300）=248-4x，x∈[1，100]，x∈N．
（2）由利润函数p（x）=-2x²+250x-300=-2（x-62.5）²+7512.5，x∈[1，100]，x∈N，故当x=62或63时，
有最大值p（x）_max=7512（元）；
因为Mp（x）=248-4x为减函数，故当x=1时有最大值244．
分析：（1）利润函数p（x）=收入函数R（x）-成本函数C（x），边际利润函数Mp（x）=p（x+1）-p（x），代入计算即可；
（2）由利润函数p（x）是二次函数，故可以求出函数p（x）的最大值p（x）_max；边际利润函数为Mp（x）是一次函数，也可以求出其最大值．
点评：本题考查了利润函数模型的应用，本题中利润函数是二次函数，利用配方法或图象的对称轴，都可以得出函数的最大值，需要注意自变量的取值是正整数．