Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-a_n=2n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2））设b_n=2${\;}^{{a}_{n}-{n}^{2}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用“累加求和”即可得出；
（2）b_n=2${\;}^{{a}_{n}-{n}^{2}}$=2^1-n，利用等比数列的前n项和公式即可得出S_n．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-a_n=2n（n∈N^*）．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+1
=$2×\frac{（n-1）n}{2}$+1=n²-n+1．
∴a_n=n²-n+1．
（2）b_n=2${\;}^{{a}_{n}-{n}^{2}}$=2^1-n，
∴数列{b_n}是等比数列，首项为1，公比为$\frac{1}{2}$．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了“累加求和”、等差数列与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．