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已知在数列{an}中,a1=t,a2=t2,其中t>0,x=
t
是函数f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一个极值点.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若
1
2
<t<2,bn=
2an
1+
a2n
(n∈N*),求证:
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
<2n-2-
n
2
(1)由题意得:f′(
t
)=0,
即3an-1t-3[(t+1)an-an+1]=0
故an+1-an=t(an-an-1)(n≥2),
则当t≠1时,数列{an+1-an}是以t2-t为首项,t为公比的等比数列,
所以an+1-an=(t2-t)tn-1
由an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1
=t+(t2-t)[1+t+t2+…+tn-2]
=t+(t2-t)•
1-tn-1
1-t
=tn
此式对t=1也成立,所以an=tn(n∈N*).
(2)
1
bn
=
1
2
(an+
1
an
)=
1
2
(tn+t-n),
因为
1
2
<t<2,所以(2t)n>1,tn<2n
则(2n+2-n)-(tn+t-n)=
1
(2t)n
(2n-tn)[(2t)n-1]>0,
1
bn
1
2
(2n+2-n),
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
1
2
[(2+
1
2
)+(22+
1
22
)+…+(2n+
1
2n
)]=2n-
1
2
(1+
1
2n
),
∵1+
1
2n
>2
1
2n

1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
<2n-
1
2n
=2n-2-
n
2
即证.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足Sn2=an(Sn-
1
2
)

(Ⅰ) 求Sn的表达式;
(Ⅱ) 设bn=
Sn
2n+1
,求数列{bn}的前n项和Tn

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知在数列{an}中,a1=7,an+1=
7anan+7
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(2011•河北区一模)已知在数列{an}中,Sn是前n项和,满足Sn+an=n,(n=1,2,3,…).
(Ⅰ)求a1,a2,a3的值;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)令bn=(2-n)(an-1)(n=1,2,3,…),求数列{bn}的前n项和Tn

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知在数列{an}中,a1=
1
2
,Sn是其前n项和,且Sn=n2an-n(n-1).
(1)证明:数列{
n+1
n
Sn}
是等差数列;
(2)令bn=(n+1)(1-an),记数列{bn}的前n项和为Tn
①求证:当n≥2时,Tn2>2(
T2
2
+
T3
3
+…+
Tn
n
)

②)求证:当n≥2时,bn+1+bn+2+…+b2n
4
5
-
1
2n+1

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