Question

13．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{cosθ}}\\{y=tanθ}\end{array}\right.$（θ为参数）相交于不同的两点A，B．
（1）若$α=\frac{π}{3}$，求线段AB的中点的直角坐标；
（2）若直线l的斜率为2，且过已知点P（3，0），求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）若$α=\frac{π}{3}$，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入曲线C的普通方程，得t²-6t-16=0，求出线段AB的中点对应的t=3，即可求线段AB的中点的直角坐标；
（2）若直线l的斜率为2，且过已知点P（3，0），利用参数的几何意义求|PA|•|PB|的值．

解答 解：（1）由曲线：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{cosθ}}\\{y=tanθ}\end{array}\right.$（θ为参数），可得C的普通方程是x²-y²=1…（2分）
当$α=\frac{π}{3}$时，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
代入曲线C的普通方程，得t²-6t-16=0，…（3分）
则线段AB的中点对应的t=3，
故线段AB的中点的直角坐标为（$\frac{9}{2}，\frac{3\sqrt{3}}{2}$）…（5分）
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得（cos²α-sin²α）t²+6cosαt+8=0，…（7分）
则|PA|•|PB|=|$\frac{8}{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}$|=|$\frac{8（1+ta{n}^{2}α）}{1-ta{n}^{2}α}$|=$\frac{40}{3}$…（10分）

点评 本题考查参数方程的运用，考查参数的几何意义，属于中档题．