Question

（本题满分14分）

已知椭圆过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.  

证明：以线段为直径的圆恒过轴上的定点.

 

Answer 1

【答案】

（1）； （2）

【解析】

试题分析：（1）由题意可知，， …………1分  而，……………2分

且.  …………3分       解得，……………4分

所以，椭圆的方程为.    ……………5分

（2）由题可得.设，   ……………6分

直线的方程为，    ……………7分

令，则，即； ……………8分

直线的方程为，   ……………9分

令，则，即； ……………10分

证法1：设点在以线段为直径的圆上，则，

即，         …………11分

，而，即，，或.                               ……………13分

故以线段为直径的圆必过轴上的定点

、.                                  ……………14分

证法2：以线段为直径的圆为

即          ………11分

令，得，    ……………12分

而，即，，或 

……………13分

故以线段为直径的圆必过轴上的定点

、.                          ……………14分

证法3：令，则，令，得，同理得.

∴以为直径的圆为，令解得 

∴圆过                          ……………11分

由前，对任意点,可得,  

∴∴在以为直径的圆上.

同理，可知也在为直径的圆上.                   ……………13分

∴故以线段为直径的圆必过轴上的定点

、.                  …………………14分

考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与椭圆的综合应用；直线方程的点斜式。

点评：此题的第二问给出了三种方法来解答，我们要熟练掌握每一种方法。这是作圆锥曲线有关问题的基础。属于中档题。