如图,设F(-c,0)是椭圆的左焦点,直线l:x=-
与x轴交于P点,MN为椭圆的长轴,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|。
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A,B。
①证明:∠AFM=∠BFN;
②求△ABF面积的最大值。
(Ⅰ)椭圆的标准方程为;(Ⅱ)①详见解析;②
.
解析试题分析:(Ⅰ)求椭圆的标准方程,只需利用待定系数法来求,由,知
,由
,得
,将
代入,可求出
的值,从而得
的值,由此能求出椭圆的标准方程.(Ⅱ)①证明:
,只需证明
即可,这是直线与二次曲线位置关系问题,可采用设而不求的方法,因此当
的斜率为0时,
,满足题意.当
的斜率不为0时,可设直线
的方程为
,代入椭圆方程得
,设出
,有根与系数关系,及斜率公式可得
,从而得到
.故恒有
;②求△ABF面积的最大值,由图可知
,由基本不等式,能求出三角形ABF面积的最大值.
试题解析:(Ⅰ)∵|MN|=8, ∴a=4, (1分)
又∵|PM|=2|MF|,∴e=, (2分)
∴c=2,b2=a2-c2=12,
∴椭圆的标准方程为 (3分)
(Ⅱ)①证明:
当AB的斜率为0时,显然∠AFM=∠BFN=0,满足题意; (4分)
当AB的斜率不为0时,设AB的方程为x=my-8,
代入椭圆方程整理得(3m2+4)y2-48my+144=0. (5分)
△=576(m2-4), yA+yB=, yAyB=
.
则,
而2myAyB-6(yA+yB)=2m·-6·
=0, (7分)
∴kAF+kBF=0,从而∠AFM=∠BFN.
综合可知:对于任意的割线PAB,恒有∠AFM=∠BFN. (8分)
②方法一:
S△ABF=S△PBF-S△PAF (10分)
即S△ABF=, (12分)
当且仅当,即m=±
时(此时适合于△>0的条件)取到等号。
∴△ABF面积的最大值是3. (13分)
方法二:
点F到直线AB的距离 (10分)
, (12分)
当且仅当,即m=±
时取等号。 (13分)
考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(1)已知点和
,过点
的直线
与过点
的直线
相交于点
,设直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,如果
,求点
的轨迹;
(2)用正弦定理证明三角形外角平分线定理:如果在中,
的外角平分线
与边
的延长线相交于点
,则
.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知过点
的椭圆
:
的右焦点为
,过焦点
且与
轴不重合的直线与椭圆
交于
,
两点,点
关于坐标原点的对称点为
,直线
,
分别交椭圆
的右准线
于
,
两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点的坐标为
,试求直线
的方程;
(3)记,
两点的纵坐标分别为
,
,试问
是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知抛物线:
和⊙
:
,过抛物线
上一点
作两条直线与⊙
相切于
、
两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心点
到抛物线准线的距离为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)当的角平分线垂直
轴时,求直线
的斜率;
(3)若直线在
轴上的截距为
,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为
的正方形(记为
)
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)设点是直线
与
轴的交点,过点
的直线
与椭圆
相交于
两点,当线段
的中点落在正方形
内(包括边界)时,求直线
斜率的取值范围
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知、
为椭圆
的左、右焦点,且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线
交椭圆
于
两点,则
的内切圆的面积是否存在最大值?
若存在其最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的左、右焦点分别为,椭圆的离心率为
,且椭圆C经过点
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若线段是椭圆过点
的弦,且
,求
内切圆面积最大时实数
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”,其中、
是过抛物线
焦点
的两条弦,且其焦点
,
,点
为
轴上一点,记
,其中
为锐角.
(1)求抛物线方程;
(2)如果使“蝴蝶形图案”的面积最小,求的大小?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知点(
,
是常数),且动点
到
轴的距离比到点
的距离小
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)(i)已知点,若曲线
上存在不同两点
、
满足
,求实数
的取值范围;
(ii)当时,抛物线
上是否存在异于
、
的点
,使得经过
、
、
三点的圆和抛物线
在点
处有相同的切线,若存在,求出点
的坐标,若不存在,请说明理由.
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