Question

设，其中，且（为自然对数的底数）

（I）求与的关系；

（II）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；

（III）证明：

    ① ；

    ② .

Answer 1

解：（I）由题意知，

又，

∴，

∴ ，即，

而，

∴ . 

（II）由（I）知，

，

令，要使在其定义域内为单调函数，只需在内满足：或恒成立.

① 当时，，∵，∴，∴，

∴在内为单调递减，故适合题意.

② 当时，，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为， ∴.

只需，即时，，

∴在内为单调递增，

故适合题意.  

③当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为.

只需，即时在恒成立.

故适合题意. 

综上可得，或.   

（III）证明：①即证明 ，

设，，

∴ 时，，∴ 为单调递增函数；

时，，∴ 为单调递减函数；

为的极大值点.
    ∴, 即∴

② 由（I）知，又，

设，则， ∴.

∵ ，   ∴

∴ ，

∴，

∴ 结论成立.