Question

已知函数f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²在（-2，-1）上是增函数，在（-∞，-2）上为减函数．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若当x∈[

1

e

-1，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）是否存在实数b使得关于x的方程f（x）=x²+x+b在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，若存在，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导数得f'（x）=2•

x2+2x+1-a

1+x

，由题意得f（-2）为函数的极大值，得f'（-2）=0，建立关于a的方程，解之即可得到f（x）的表达式；
（2）利用导数求出f（x）在[

1

e

-1，0)上为减函数且在（0，e-1]上为增函数，得到f（x）的最大值为f(

1

e

-1)与f（e-1）中较大的那个，算出f（x）的最大值为f（e-1）=e²-2，即可得到满足条件的m的取值范围；
（3）f（x）=x²+x+b，变形得x-b+1-ln（1+x）²=0，设相应的函数为g（x），利用导数研究出g（x）在[0，1]上单调递减且在[1，2]上单调递增，可得当g（1）＜0、g（0）≥0且g（2）≥0时方程f（x）=x²+x+b在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，由此建立关于b的不等式即可得出实数b的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²，
∴求导数，得f'（x）=2（1+x）-

2a

1+x

=2•

x2+2x+1-a

1+x

∵f（x）在（-2，-1）上是增函数，在（-∞，-2）上为减函数
∴f（-2）为函数的极大值，可得f'（-2）=2•

(-2)2+2×(-2)+1-a

1-2

=0，解之得a=1
因此，f（x）的表达式为f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²；
（2）由于f'（x）=2•

x2+2x

1+x

=

2x(x+2)

x+1

∴f'（x）=0的零点为x₁=-2，x₂=0
在区间[

1

e

-1，0)上f'（x）＜0，在区间（0，e-1]上f'（x）＞0
∴f（x）在区间[

1

e

-1，0)上为减函数，在区间（0，e-1]上为增函数
可得x∈[

1

e

-1，e-1]时，f（x）的最大值为f(

1

e

-1)与f（e-1）中较大的那个
∵f(

1

e

-1)=

1

e 2

+2，f（e-1）=e²-2＞

1

e 2

+2，
∴x∈[

1

e

-1，e-1]时，f（x）的最大值为f（e-1）=e²-2
因此不等式f（x）＜m恒成立时，实数m的范围为（e²-2，+∞）．
（3）若存在实数b使得条件成立，
方程f（x）=x²+x+b，即x-b+1-ln（1+x）²=0，
令g（x）=x-b+1-ln（1+x）²，则g'（x）=1-

2

x+1

=

x-1

x+1

，
令g'（x）＞0，得x＜-1或x＞1；令g'（x）＜0，得-1＜x＜1，
∴g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
要使方程f（x）=x²+x+b在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，
只需g（x）=0在区间[0，1]和[1，2]上各有一个实根，于是有

g(0)≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

，解得2-2ln2＜b≤3-2ln3，
故存在这样的实数b，当2-2ln2＜b≤3-2ln3时满足条件．

点评：本题给出含有对数的基本初等函数，求函数的解析式并由此讨论方程根的分布．着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的极值与最值求法和不等式恒成立的处理等知识，属于中档题．