Question

如图，已知O、A、B是平面上三点，向量

OA

=

a

，

OB

=

b

．在平面AOB上，P是线段AB垂直平分线上任意一点，向量

OP

=

p

，且|

a

|=3，|

b

|=2，则

p

•（

a

-

b

）的值是（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3

  2

• C．

  7

  2

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：因为

a

-

b

=

BA

与向量

MP

垂直，得

MP

•（

a

-

b

）=

MP

•

BA

=0，因此将向量

OP

表示成

OM

、

MP

的和，从而

p

•（

a

-

b

）=

OM

•(

a

-

b

)=

1

2

(

a

+

b

)(

a

-

b

)=

1

2

（

a

2-

b

2），代入题中的数据即可得到

p

•（

a

-

b

）的值．

解答：解：连接OM，根据题意得

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)=

1

2

(

a

+

b

)
∵

OP

=

OM

+

MP

=

p

∴

p

•（

a

-

b

）=（

OM

+

MP

）•（

a

-

b

）=

1

2

(

a

+

b

)（

a

-

b

）+

MP

•（

a

-

b

）
∵

a

-

b

=

BA

，

MP

⊥

BA

，得

MP

•（

a

-

b

）=

MP

•

BA

=0
∴

p

•（

a

-

b

）=

1

2

(

a

+

b

)（

a

-

b

）=

1

2

（

a

2-

b

2）=

1

2

（3²-2²）=

5

2

故选：D

点评：本题给出三角形的边AB的垂直平分线，求向量的数量积，着重考查了线段垂直平分线的性质、向量的线性运算和数量积运算性质等知识，属于基础题．