Question

已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程.
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l₁,l₂,设l₁与轨迹C相交于点A,B,l₂与轨迹C相交于点D,E,求·的最小值.

Answer 1

(1) y²=4x(x≥0)和y=0(x<0)   (2) 16

(1)设动点P的坐标为(x,y),由题意得-|x|=1.化简得y²=2x+2|x|,
当x≥0时,y²=4x;当x<0时,y=0.
所以动点P的轨迹C的方程为
y²=4x(x≥0)和y=0(x<0).
(2)由题意知,直线l₁的斜率存在且不为0,设为k,则l₁的方程为y=k(x-1).
由得k²x²-(2k²+4)x+k²=0.
设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则x₁,x₂是上述方程的两个实根,于是x₁+x₂=2+,x₁x₂=1.
因为l₁⊥l₂,所以l₂的斜率为-.
设D(x₃,y₃),E(x₄, y₄),
则同理可得x₃+x₄=2+4k²,x₃x₄=1.
·=(+)·(+)
=·+·+·+·
=·+·=||·||+||·||
=(x₁+1)(x₂+1)+(x₃+1)(x₄+1)
=x₁x₂+(x₁+x₂)+1+x₃x₄+(x₃+x₄)+1
=1+(2+)+1+1+(2+4k²)+1
=8+4(k²+)≥8+4×2=16.
故当且仅当k²=,即k=±1时,·取最小值16.