Question

5．已知函数y=sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$．
（1）求出函数的最小正周期；
（2）写出在（-2π，2π）上的递增区间．

Answer 1

分析 （1）首先，化简函数解析式，然后，根据周期公式求解周期即可；
（2）直接根据三角函数的单调性进行求解即可．

解答 解：y=sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$
=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）．
（1）T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z
∴-$\frac{3π}{4}$+2kπ≤$\frac{x}{2}$≤$\frac{π}{4}$+2kπ，
∴-$\frac{3π}{2}$+4kπ≤x≤$\frac{π}{2}$+4kπ，
∴该函数递增区间为：[-$\frac{3π}{2}$+4kπ，$\frac{π}{2}$+4kπ]，（k∈Z），
∵x∈（-2π，2π），
∴该函数递增区间为：[-$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．

点评 本题重点考查了三角函数的图象与性质，不等式的性质等知识，属于中档题．