Question

20．已知MN为正方体内切球的任意一条直径，点A为正方体表面一动点，若正方体的棱长为4，则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的最大值为11．

Answer 1

分析 利用向量数量积的概念及性质，可知当点A，M，N三点共线时，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的取得最大值，继而可求得该最大值．

解答 解：设点P为此正方体的内切球的球心，半径R=2．
∵$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$≤|$\overrightarrow{AM}$||$\overrightarrow{AN}$|，∴当点A，M，N三点共线时，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的取得最大值．
此时，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$≤（|$\overrightarrow{AP}$|+|$\overrightarrow{PM}$|）•（|$\overrightarrow{AP}$|-|$\overrightarrow{PN}$|），而|$\overrightarrow{PM}$|=|$\overrightarrow{PN}$|=1，
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$≤|PA|²-1，当且仅当点P为正方体的一个顶点时，上式取得最大值，又正方体的对角线长为4$\sqrt{3}$，
∴（$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$）_max=（2$\sqrt{3}$）²-1=11，
故答案为：11．

点评 本题考查空间线面、面面之间的位置关系，考查推理运算能力，考查平面向量的数量积的概念及性质的应用，属于中档题．