Question

14．在锐角三角形ABC中．角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=1，$\overrightarrow{m}$=（$\frac{1}{sinA}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cosA，-1）．且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．则b+c的取值范围是 （　　）

• A． （1，2]
• B． [1，2]
• C． [$\sqrt{3}$，2]
• D． （$\sqrt{3}$，2]

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$得出$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，求出A的值，再由正弦定理求出b+c的表达式，利用三角恒等变换求出b+c的取值范围．

解答 解：锐角△ABC中，a=1，
$\overrightarrow{m}$=（$\frac{1}{sinA}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cosA，-1），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$；
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{cosA}{sinA}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=0，
∴$\frac{cosA}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即tanA=$\sqrt{3}$，
解得A=$\frac{π}{3}$；
∴由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∴b+c=$\frac{2}{\sqrt{3}}$（sinB+sinC）
=$\frac{2}{\sqrt{3}}$[sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）]
=$\frac{2}{\sqrt{3}}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{3}{2}$sinB）
=cosB+$\sqrt{3}$sinB
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB+$\frac{1}{2}$cosB）
=2sin（B+$\frac{π}{6}$）；
∵0＜B＜$\frac{π}{2}$，且0＜$\frac{2π}{3}$-B＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$；
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴b+c∈（$\sqrt{3}$，2]，
即b+c的取值范围是（$\sqrt{3}$，2]．
故选：D．

点评 本题考查了正弦定理与三角恒等变换的应用问题，也考查了平面向量的应用问题以及特殊角的三角函数值的应用问题，是综合性题目．