Question

15．经过双曲线上任一点M作平行于实轴的直线，与渐近线交于P、Q两点，则|MP|•|MQ|为定值，其值为（　　）

• A． a²
• B． b²
• C． c²
• D． ab

Answer 1

分析 先设出点M的坐标，根据点M在双曲线上，得到${x}^{2}={a}^{2}（1+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}）$；再根据条件求出P，Q两点的坐标，代入|MP|•|MQ|整理即可求出结论．

解答 解：经过双曲线上任一点M作平行于实轴的直线，与渐近线交于P、Q两点，
设M（x，y），则有：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$⇒${x}^{2}={a}^{2}（1+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}）$①
且P（-$\frac{a}{b}$y，y），Q（$\frac{a}{b}$y，y），
∴$\overrightarrow{MP}$=（-$\frac{a}{b}$y-x，0），$\overrightarrow{MQ}$=（$\frac{a}{b}$y-x，0）
∴|MP|•|MQ|=$|\overrightarrow{MP}|•|\overrightarrow{MQ}|$=（-$\frac{a}{b}$y-x）•（$\frac{a}{b}$y-x）+0=x²-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$y2=${a}^{2}（1+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}）$-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$y²=a²．
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线的基本性质以及向量的数量积，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．