Question

在△ABC中，已知，c=10，P是△ABC的内切圆上一点，则PA²+PB²+PC²的最大值为    ．

Answer 1

【答案】分析：由，结合正弦定理，我们易判断三角形的形状，进而给出三角形的三边长，及三角形内切圆半径，以C为原点建立坐标设后，构造内切圆方程，和PA²+PB²+PC²的表达式，结合P点位置范围，即可得到结论．
解答：解：∵=
∴sinA•cosA=sinB•cosB
 即sin2A=sin2B
由a≠b，故A≠B
∴2A+2B=π
即A+B=
∴C=
又∵c=10，
∴a=6，b=8，
则内切圆半径r=2，
以C为原点，CA，CB分别为X，Y轴正方向建立坐标系，
则C（0，0），A（8，0），B（0，6）
设P（x，y），则（x-2）²+（y-2）²=4
PA²+PB²+PC²
=x²+y²+（x-8）²+y²+x²+（y-6）²
=3[（x-2）²+（y-2）²]-4x+76
=88-4x
当x=0时，PA²+PB²+PC²取最大值为88
故答案：88
点评：本题考查的知识有正弦定理，三角形内切圆求法，函数的最值，其中根据三角形形状，构造坐标系，进而将PA²+PB²+PC²的最大值转化为函数最大值问题，是解答的关键．