Question

（2010•马鞍山模拟）已知函数f（x）=lg（a^x-b^x）中，常数a，b满足a＞1＞b＞0，且a-b=1，那么函数f（x）＞0的解集为（　　）

A．（0，+∞）

B．（1，+∞）

C．（2，+∞）

D．（10，+∞）

Answer 1

分析：令u（x）=a^x-b^x，利用定义判断u（x）在x∈（0，+∞）上单调增，从而得到f（x）在x∈（0，+∞）上单调增，由a-b=1，可得f（1）=lg（a-b）=lg1=0，进而得到f（x）＞0=f（1），从而得出答案．

解答：解：由题意可得：令u（x）=a^x-b^x，不等式即 lgu（x）＞0，
∵a＞1＞b＞0，
所以u（x）在实数集上是个增函数，且u（x）＞0，
又因为u（0）=0，
所以应有  x＞0，
∴u（x）在定义域（0，+∞）上单调增，
∴f（x）=lg（a^x-b^x）在x∈（0，+∞）上单调增．
又f（1）=lg（a-b）=lg1=0，由f（x）＞0知x＞1．
故选B．

点评：考查指、对数函数性质、函数的单调性应用、对数函数的单调性与特殊点，由真数u（x）的单调性确定f（x）的单调性，利用特殊点lg1=0．中等题．