Question

定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度均为n-m，其中n＞m．
（1）求不等式

2x-1

x+3

＜1的解集所构成的区间的长度；
（2）若关于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集构成的区间的长度为

6

，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）求出不等式

2x-1

x+3

＜1的解集，便可得出区间的长度
（2）观察二次项的系数带有字母，需要先对字母进行讨论，当a等于0时，看出合不合题意，a≠0时，方程2ax²-12x-3=0的两根设为x₁、x₂，根据根与系数之间的关系，写出两根的和与积，表示出区间长度，得到结果．

解答：解：（1）

2x-1

x+3

＜1化为

2x-1

x+3

-1＜0，即

x-4

x+3

＜0，同解于（x-4）（x+3）＜0，解得解集为（-3，4），区间的长度为4-（-3）=7
（2a=0时不合题意； （1分）
a≠0时，方程2ax²-12x-3=0的两根设为x₁、x2，则x₁+x₂=

6

a

，x₁x₂=-

3

2a

，
由题意知6=|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

36

a2

+

6

a

，
解得a=-2或a=3（舍），
所以a=-2．

点评：本题是新定义问题，时间上考查二次函数的图象与性质，二次不等式解法．新定义问题，首先认真阅读理解所给新定义的内容与意义，在转化为已经学过的知识和方法．