Question

（2009•上海模拟）定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度均为n-m，其中n＞m．
（1）若关于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集构成的区间的长度为

6

，求实数a的值；
（2）求关于x的不等式sinxcosx+

3

cos2x＞0，x∈[0，2π]的解集构成的各区间的长度和；
（3）已知关于x的不等式组

6 x ＞1  log2x+log2(tx+3t)＜2

的解集构成的各区间长度和为6，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）观察二次项的系数带有字母，需要先对字母进行讨论，当a等于0时，看出合不合题意，a≠0时，方程2ax²-12x-3=0的两根设为x₁、x₂，根据根与系数之间的关系，写出两根的和与积，表示出区间长度，得到结果．
（2）根据所给的三角函数式，利用二倍角公式进行化简求值，根据三角函数的图象写出不等式成立的条件，写出在规定范围中的解集．
（3）先解关于x的不等式组，解出两个不等式的解集，求两个不等式的解集的交集，A∩B⊆（0，6），不等式组的解集的各区间长度和为6，写出不等式组进行讨论，得到结果．

解答：解：（1）a=0时不合题意；                                      （1分）
a≠0时，方程2ax²-12x-3=0的两根设为x₁、x₂，则x1+x2=

6

a

，x1x2=-

3

2a

，
由题意知6=|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=

36

a2

+

6

a

，（2分）
解得a=-2或a=3（舍），（3分）
所以a=-2．                                                    （4分）
（2）因为sinxcosx+

3

cos2x=

1

2

sin2x+

3

2

(1+cos2x)=sin(2x+

π

3

)+

3

2

，
原不等式即为sin(2x+

π

3

)＞-

3

2

，x∈[0，2π]（6分）
不等式sin(2x+

π

3

)＞-

3

2

的解集为{x|kπ-

π

3

＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z}，（7分）
所以原不等式的解集为[0，

π

2

)∪(

2π

3

，

3π

2

)∪(

5π

3

，2π]（8分）
各区间的长度和为

5π

3

（9分）
（3）先解不等式

6

x

＞1，整理得

6-x

x

＞0，即x（x-6）＜0
所以不等式

6

x

＞1的解集A=（0，6）（10分）
设不等式log₂x+log₂（tx+3t）＜2的解集为B，不等式组的解集为A∩B
不等式log₂x+log₂（tx+3t）＞2等价于

x＞0 tx+3t＞0 tx2+3tx-4＜0

（11分）
又A∩B⊆（0，6），不等式组的解集的各区间长度和为6，所以不等式组

tx+3t＞0 tx2+3tx-4＜0

，
当x∈（0，6）时，恒成立                                                 （12分）
当x∈（0，6）时，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0（13分）
当x∈（0，6）时，不等式tx²+3tx-4＜0恒成立，即t＜

4

x2+3x

恒成立        （14分）
当x∈（0，6）时，

4

x2+3x

的取值范围为(

2

27

，+∞)，所以实数t≤

2

27

（15分）
综上所述，t的取值范围为(0，

2

27

]（16分）

点评：本题考查一个新定义问题，即区间的长度，本题解题的关键是对于条件中所给的三种不同的题目进行整理变化，注意恒成立问题，这是高考题目中必出的．