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    （2009•上海模拟）已知点列B1（1，y1），B2（2，y2），…，Bn（n，yn），…（n∈N*）顺次为直线y=
    x4
    上的点，点列A1（x1，0），A2（x2，0），…，An（xn，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形．
    （1）证明：数列{yn}是等差数列；
    （2）求证：对任意的n∈N*，xn+2-xn是常数，并求数列{xn}的通项公式；
    （3）对上述等腰三角形AnBnAn+1添加适当条件，提出一个问题，并做出解答．（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）
    分析：（1）根据Bn（n，yn）在直线y=
    x
    4
    上可得yn=
    n
    4
    ，然后根据等差数列的定义可知数列{yn}是等差数列；
    （2）由题意得
    xn+xn+1
    2
    =n    ，则xn+xn+1=2n，根据递推关系又有xn+2+xn+1=2（n+1）两式作差可得xn+2-xn是常数，从而x1，x3，x5，…；x2，x4，x6，…都是等差数列，即可求出数列{xn}的通项公式；
    （3）提出问题：若等腰三角形AnBnAn+1中，是否有直角三角形，若有，求出实数a．讨论n的奇偶，求出|AnAn+1|，过Bn作x轴的垂线，垂足为Cn，则|BnCn|=
    n
    4
    ，要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形，必须且只须：|AnAn+1|=2|BnCn|，从而求出a的值．
    解答：解：（1）依题意有yn=
    n
    4
    ，于是yn+1-yn=
    1
    4
    ．
    所以数列{yn}是等差数列．（4分）
    （2）由题意得
    xn+xn+1
    2
    =n    ，即xn+xn+1=2n，（n∈N*）         ①
    所以又有xn+2+xn+1=2（n+1）．②
    由②-①得：xn+2-xn=2，所以xn+2-xn是常数．　　　　　　　（6分）
    由x1，x3，x5，…；x2，x4，x6，…都是等差数列．x1=a（0＜a＜1），x2=2-a，那么得 
     x2k-1=x1+2（k-1）=2k+a-2，x2k=x2+2（k-1）=2-a+2（k-1）=2k-a．（k∈N*）（8分）
    故xn=
    n+a-1(n为奇数)
    n-a(n为偶数)
    （10分）
    （3）提出问题：若等腰三角形AnBnAn+1中，是否有直角三角形，若有，求出实数a．
    解：当n为奇数时，An（n+a-1，0），An+1（n+1-a，0），所以|AnAn+1|=2（1-a）；
    当n为偶数时，An（n-a，0），An+1（n+a，0），所以|AnAn+1|=2a；
    过Bn作x轴的垂线，垂足为Cn，则|BnCn|=
    n
    4
    ，要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形，必须且只须：|AnAn+1|=2|BnCn|．（13分）
    当n为奇数时，有2(1-a)=2×
    n
    4
    ，即a=1-
    n
    4
    ①
    ∴当n=1 时，a=
    3
    4
    ；当 n=3 时，a=
    1
    4
    ，当n≥5，a＜0不合题意．（15分）
    当n为偶数时，有2a=2×
    n
    4
    ，a=
    n
    4
    ，同理可求得 
     当n=2 时  a=
    1
    2

    当n≥4时，a＜0不合题意．（17分）
    综上所述，使等腰三角形AnBnAn+1中，有直角三角形，a的值为
    3
    4
    或
    1
    4
    或
    1
    2
    ．（18分）
    点评：本题主要考查了数列与几何的综合，同时考查了数列的通项公式，第三问是开放题，有一定的新意，属于中档题．
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    （2009•上海模拟）在解决问题：“证明数集A={x|2＜x≤3}没有最小数”时，可用反证法证明．假设a（2＜a≤3）是A中的最小数，则取a′=
    a+2
    2
    ，可得：2=
    2+2
    2
    ＜a′=
    a+2
    2
    ＜
    a+a
    2
    =a≤3    ，与假设中“a是A中的最小数”矛盾！那么对于问题：“证明数集B={x|x=
    n
    m
    ，m，n∈N*，并且n＜m}    没有最大数”，也可以用反证法证明．我们可以假设x=
    n0
    m0
    是B中的最大数，则可以找到x'=
    n0+1
    m0+1
    n0+1
    m0+1
    （用m0，n0表示），由此可知x'∈B，x'＞x，这与假设矛盾！所以数集B没有最大数．

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    （2009•上海模拟）定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度均为n-m，其中n＞m．
    （1）若关于x的不等式2ax2-12x-3＞0的解集构成的区间的长度为
    		6
    ，求实数a的值；
    （2）已知关于x的不等式sinxcosx+
    		3
    cos2x+b＞0    ，x∈[0，π]的解集构成的各区间的长度和超过
    π
    3
    ，求实数b的取值范围；
    （3）已知关于x的不等式组
    7
    x+1
    ＞1 
    log2x+log2(tx+3t)＜2
    的解集构成的各区间长度和为6，求实数t的取值范围．

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    （2009•上海模拟）已知全集U=R，集合A={x|x2-2x-3≤0，x∈R}，B={x||x-2|＜2，x∈R}，那么集合A∩B=
    {x|0＜x≤3}
    {x|0＜x≤3}
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•上海模拟）已知集合A={z|z=1+i+i2+…+in，n∈N*}，B={ω|ω=z1•z2，z1、z2∈A}，（z1可以等于z2），从集合B中任取一元素，则该元素的模为
    		2
    的概率为
    2
    7
    2
    7
    ．

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