Question

20．已知函数f（x）=cosx（cosx+$\sqrt{3}$sinx）．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若f（C）=1且c=$\sqrt{7}$，a+b=4，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （I）利用倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性值域即可得出．
（II）利用三角函数求值、余弦定理、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=cosx（cosx+\sqrt{3}sinx）=cos{x^2}+\sqrt{3}sinxcosx$=$\frac{1+cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x$=$\frac{1}{2}+sin（2x+\frac{π}{6}）$．
当$sin（2x+\frac{π}{6}）=-1$时，f（x）取最小值为$-\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）$f（C）=\frac{1}{2}+sin（2C+\frac{π}{6}）=1$，∴$sin（2C+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．
在△ABC中，∵C∈（0，π），$2C+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}}）$，∴$C=\frac{π}{3}$，
又c²=a²+b²-2abcosC，
（a+b）²-3ab=7．
∴ab=3．
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题考查了倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性值域、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．