Question

15．若函数y=kx+1的图象与函数y=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|的图象恰有五个交点，则实数k的取值范围是$（{-\frac{1}{8}，0}）∪（{0，\frac{1}{8}}）$．

Answer 1

分析 作出函数y=kx+1的图象与函数y=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|的图象，x＞1时，kx+1=$\frac{2}{x}$，即kx²+x-2=0有两个不等的实数根，可得k的范围，利用对称性，即可求出实数k的取值范围．

解答 解：0＜x＜1时，y=2x；x＞1时，y=$\frac{2}{x}$，
函数y=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|为偶函数，图象如图所示．
∵函数y=kx+1的图象与函数y=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|的图象恰有五个交点，
∴x＞1时，kx+1=$\frac{2}{x}$，即kx²+x-2=0有两个不等的实数根，
∴△=1+8k＞0且k＜0，
∴-$\frac{1}{8}$＜k＜0，
根据对称性，可得实数k的取值范围是$（{-\frac{1}{8}，0}）∪（{0，\frac{1}{8}}）$．
故答案为：$（{-\frac{1}{8}，0}）∪（{0，\frac{1}{8}}）$

点评 本题考查函数的图象，考查函数的性质，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键．