Question

5．已知函数f（x）=x³-3x-1，g（x）=2^x-a，若对任意x₁∈[0，2]，存在x₂∈[0，2]使|f（x₁）-g（x₂）|≤2，则实数a的取值范围（　　）

• A． [1，5]
• B． [2，5]
• C． [-2，2]
• D． [5，9]

Answer 1

分析 先将问题等价为，f（x）_max-g（x）_max≤2，且f（x）_min-g（x）_min≥-2，再分别对二次函数和指数函数在相应区间上求最值．

解答 解：根据题意，要使得|f（x₁）-g（x₂）|≤2，即-2≤f（x₁）-g（x₂）≤2
只需满足：f（x）_max-g（x）_max≤2，且f（x）_min-g（x）_min≥-2，
∵函数f（x）=x³-3x-1，
∴f'（x）=3x²-3，
当f'（x）≥0是，即1≤x≤2，函数f（x）单调递增，
当f'（x）＜0是，即0≤x＜1，函数f（x）单调递减，
∴f（x）_min=f（1）=1-3-1=-3，
f（0）=-1，f（2）=8-6-1=1，
∴f（x）_max=1，
∵g（x）=2^x-a在[0，2]单调递增，
∴g（x）_min=g（0）=1-a，
g（x）_max=g（2）=4-a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-（4-a）≤2}\\{-3-（1-a）≥-2}\end{array}\right.$，
解得2≤a≤5．
故选：B．

点评 本题主要考查了不等式有解和恒成立的综合问题，涉及二次函数和指数函数的单调性和值域，以及导数的运算，属于中档题．