Question

16．已知圆（x+1）²+（y-4）²=5与圆x²+y²-2x-m²+2m+4=0外离，则m的范围是-2＜m＜-1或3＜m＜4．

Answer 1

分析 求出两个圆的圆心和半径，根据两圆外离得到半径和圆心距之间的关系进行求解即可．

解答 解：圆C：x²+y²-2x-m²+2m+4=0得标准方程为（x-1）²+y²=m²-2m-3，
则圆心C为（1，0），半径r=$\sqrt{{m}^{2}-2m-3}$，（m²-2m-3＞0），
则圆（x+1）²+（y-4）²=5的圆心A（-1，4），半径R=$\sqrt{5}$，
∵圆（x+1）²+（y-4）²=5与圆x²+y²-2x-m²+2m+4=0外离，
∴|AC|＞r+R，
即$\sqrt{（-1-1）^{2}+{4}^{2}}$＞$\sqrt{5}$+$\sqrt{{m}^{2}-2m-3}$，（m²-2m-3＞0），
即$\sqrt{（-1-1）^{2}+{4}^{2}}$＞$\sqrt{5}$+$\sqrt{{m}^{2}-2m-3}$，（m²-2m-3＞0），
即2$\sqrt{5}$＞$\sqrt{5}$+$\sqrt{{m}^{2}-2m-3}$，
即$\sqrt{5}$＞$\sqrt{{m}^{2}-2m-3}$，
即m²-2m-3＜5，
即m²-2m-8＜0，
由$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-2m-8＜0}\\{{m}^{2}-2m-3＞0}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{-2＜m＜4}\\{m＞3或m＜-1}\end{array}\right.$，即-2＜m＜-1或3＜m＜4，
故答案为：-2＜m＜-1或3＜m＜4．

点评 本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，求出两圆的圆心和半径，结合两圆相离的关系建立不等式是解决本题的关键．