Question

17．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、CD上，$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}$=μ$\overrightarrow{DC}$．若λ+μ=$\frac{2}{3}$，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的最小值（　　）

• A． $\frac{4}{9}$
• B． $\frac{5}{9}$
• C． $\frac{10}{9}$
• D． $\frac{11}{9}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，把$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$用$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AD}$表示，最后转化为含有λ，μ的代数式，再结合λ+μ=$\frac{2}{3}$及基本不等式求得$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的最小值．

解答 解：如图，
∵$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}$=μ$\overrightarrow{DC}$，且λ+μ=$\frac{2}{3}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$）•（$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$），
=$（\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{AD}+μ\overrightarrow{DC}）$=$（\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AD}）•（\overrightarrow{AD}+μ\overrightarrow{AB}）$
=$（1+λμ）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+λ|\overrightarrow{AD}{|}^{2}+μ|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$
=$（1+λμ）×2×2×（-\frac{1}{2}）+4（λ+μ）$=$-2（1+λμ）+\frac{8}{3}$．
由题意可得，λ，μ＞0，
∵λ+μ=$\frac{2}{3}$，
∴λμ$≤（\frac{λ+μ}{2}）^{2}$，则-2（1+λμ）≥$-\frac{20}{9}$，
∴$-2（1+λμ）+\frac{8}{3}≥\frac{4}{9}$（当且仅当$λ=μ=\frac{1}{3}$时等号成立），
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的最小值为$\frac{4}{9}$．
故选：A．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．