Question

2．已知z₁=$\frac{16}{a+5}$-（10-a²）i，z₂=$\frac{2}{1-a}$+（2a-5）i，a∈R，i为虚数单位．若z₁+z₂是实数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求$\overline{z_1}$•z₂的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由z₁+z₂为实数，列出方程组求解即可得答案；
（Ⅱ）把a=3代入z₁，z₂求得z₁=2-i，z₂=-1+i，进一步求出$\overline{{z}_{1}}$，则$\overline{z_1}$•z₂的值可求．

解答 解：（Ⅰ）由z₁=$\frac{16}{a+5}$-（10-a²）i，z₂=$\frac{2}{1-a}$+（2a-5）i，依题意知z₁+z₂为实数，
∵z₁+z₂=$\frac{16}{a+5}$+$\frac{2}{1-a}$+[（a²-10）+（2a-5）]i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+2a-15=0}\\{a+5≠0}\\{1-a≠0}\end{array}\right.$，
∴a=3；
（Ⅱ）把a=3代入z₁=$\frac{16}{a+5}$-（10-a²）i，z₂=$\frac{2}{1-a}$+（2a-5）i，
得z₁=2-i，z₂=-1+i，
则$\overline{z_1}=2+i$，
$\overline{z_1}•{z_2}=（2+i）（-1+i）=-3+i$．

点评 本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数的基本概念，是基础题．