Question

1．已知定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），f（2-x）=f（x），当x∈（0，1]时，f（x）=$\frac{1}{x-2}$．
（1）当x∈[1，2）时，求f（x）的解析式；
（2）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2016）的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数的关系，利用转化法进行求解即可．
（2）根据函数的周期性进行求出，求出函数在一个周期内的函数值之和即可．

解答 解：（1）由f（-x）=-f（x），得函数为奇函数，
∵f（2-x）=f（x）=-f（x-2），
∴f（x+2）=-f（x），即f（x+4）=-f（x+2）=f（x），则函数的周期是4，
当x∈[1，2）时，当-x∈（-2，-1]，2-x∈（0，1]，
∵当x∈（0，1]时，f（x）=$\frac{1}{x-2}$．
∴当x∈[1，2）时，f（x）=f（2-x）=$\frac{1}{2-x-2}$=-$\frac{1}{x}$．
（2）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，
f（1）=-1，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（3-4）=f（-1）=-f（1）=1，
则f（0）+f（1）+f（2）+f（4）=0-1+0+1=0，
则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2016）=504×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（0）=0

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及函数值的计算，根据条件判断函数的周期性和对称性是解决本题的关键．