Question

13．在△ABC中，∠C是锐角，且满足$\sqrt{3}$a²-$\sqrt{3}$b²=2c²sin（A-B）．
（1）求角C；
（2）若c=1，且AC边上的中线BD长为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）使用正弦定理将边化角，使用和差化积公式化简即可得出sinC；
（2）分别在△ABC和△BCD中使用余弦定理，解方程组得出BC，CD，代入面积公式计算面积．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$\sqrt{3}$a²-$\sqrt{3}$b²=2c²sin（A-B），
∴$\sqrt{3}$（sin²A-sin²B）=2sin²Csin（A-B）．
∴$\sqrt{3}$（sinA+sinB）（sinA-sinB）=2sin²Csin（A-B）．
∴$\sqrt{3}$•2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$•2cos$\frac{A+B}{2}$sin$\frac{A-B}{2}$=2sin²Csin（A-B）．
∴$\sqrt{3}$sin（A+B）sin（A-B）=2sin²Csin（A-B）．
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵C是锐角，∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）设CD=AD=x，BC=y，
在△ABC中，由余弦定理得1=4x²+y²-2xy，
在△BCD中，由余弦定理得$\frac{1}{3}$=x²+y²-xy．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}+{y}^{2}-2xy=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-xy=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，解得x=y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．即AC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AC•BCsinC$=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的恒等变换，属于中档题．