Question

6．（Ⅰ）若复数z=（m-1）+（m+1）i（m∈R），
①若z在复平面内对应的点z在第二象限内，求m的取值范围．
②若z为纯虚数时，求$\frac{1-z}{1+z}$．
（Ⅱ）已知复数Z=$\frac{（1-4i）（1+i）+2+4i}{3+4i}$，Z²+aZ+b=1+i，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 （I）①利用复数的几何意义可得：$\left\{{\begin{array}{l}{m-1＜0}\\{m+1＞0}\end{array}}\right.$，解出即可得出；②利用纯虚数的定义可得m，代入计算即可得出；
（II）利用复数的运算法则即可得出．

解答 解：（Ⅰ）①Z在复平面内对应的点为（m-1，m+1）在第二象限内，则$\left\{{\begin{array}{l}{m-1＜0}\\{m+1＞0}\end{array}}\right.$，
∴-1＜m＜1．
②z为纯虚数时，$\left\{\begin{array}{l}{m-1=0}\\{m+1≠0}\end{array}\right.$，解得m=1．
∴z=2i，
∴$\frac{1-z}{1+z}$=$\frac{1-2i}{1+2i}$=$\frac{（1-2i）^{2}}{（1+2i）（1-2i）}$=$\frac{-3-4i}{5}$=-$\frac{3}{5}-\frac{4}{5}$i．
（II）复数Z=$\frac{（1-4i）（1+i）+2+4i}{3+4i}$=$\frac{7+i}{3+4i}$=$\frac{（7+i）（3-4i）}{（3+4i）（3-4i）}$=$\frac{25-25i}{25}$=1-i，
∴Z²+aZ+b=1+i解得，a+b-（a+2）i=1+i，
∴$\left\{\begin{array}{l}a+b=1\\ a+2=-1\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=4\end{array}\right.$．

点评 本题考查了复数的运算法则、几何意义、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．